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<!DOCTYPE html>

<title>Mode normal</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Mode normal</h1>

</header>

</div>

Pour un système <a href="Oscillateur" class="mw-disambig" title="Oscillateur">oscillatoire</a> à plusieurs <a href="Degr%C3%A9_de_libert%C3%A9_(physique_et_chimie)" class="mw-redirect" title="Degré de liberté (physique et chimie)">degrés de liberté</a>, un mode normal ou mode propre d'oscillation est une forme spatiale selon laquelle un système excitable (micro ou macroscopique) peut osciller après avoir été perturbé au voisinage de son <a href="%C3%89quilibre_statique_(m%C3%A9canique)" title="Équilibre statique (mécanique)">état d'équilibre</a><a href="#cite_note-Meirovitch-1">[R 1]</a> ; une fréquence naturelle de <a href="Vibration" title="Vibration">vibration</a> est alors associée à cette forme. Tout objet physique, comme une <a href="Corde_(musique)" title="Corde (musique)">corde</a> vibrante, un pont, un bâtiment ou encore une <a href="Mol%C3%A9cule" title="Molécule">molécule</a> possède un certain nombre, parfois infini, de modes normaux de vibration qui dépendent de sa structure, de ses constituants ainsi que des <a href="Conditions_aux_limites" class="mw-redirect" title="Conditions aux limites">conditions aux limites</a> qui lui sont imposées. Le nombre de modes normaux est égal à celui des degrés de liberté du système.

Le mouvement le plus général d'un système est une superposition de modes normaux. Le terme « normal » indique que chacun de ces modes peut vibrer indépendamment des autres, c'est-à-dire que l'excitation du système dans un mode donné ne provoquera pas l'excitation des autres modes<a href="#cite_note-2">[N 1]</a>. En d'autres termes, la décomposition en modes normaux de vibration permet de considérer le système comme un ensemble d'<a href="Oscillateur_harmonique" title="Oscillateur harmonique">oscillateurs harmoniques</a> indépendants dans l'étude de son mouvement au voisinage de sa position d'équilibre.

Si le système est soumis à une excitation externe, il peut entrer en <a href="R%C3%A9sonance" title="Résonance">résonance</a> avec chacune des <a href="Fr%C3%A9quence_propre" title="Fréquence propre">fréquences propres</a> associées aux différents modes normaux. Cette considération est cruciale en <a href="G%C3%A9nie_civil" title="Génie civil">génie civil</a>, par exemple, où il est important de déterminer ces fréquences propres afin de s'assurer que, dans les conditions normales d'utilisation, une structure ne sera pas soumise à des excitations dans leurs domaines fréquentiels. Faute de cette précaution, une résonance de la construction pourrait mener à sa dégradation voire à sa destruction.

Au-delà de la théorie des oscillations mécaniques ou électriques, le concept de mode normal possède une importance fondamentale. Il a servi de <a href="Paradigme" title="Paradigme">paradigme</a> pour développer les concepts d'<a href="%C3%89tat_quantique" title="État quantique">état</a> propre en <a href="M%C3%A9canique_quantique" title="Mécanique quantique">mécanique quantique</a>, ou encore celui de <a href="Photon" title="Photon">photon</a> dans le cadre de la quantification du <a href="Champ_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique" title="Champ électromagnétique">champ électromagnétique</a>, laquelle peut être effectuée en décomposant le champ classique en « modes normaux » qui sont ensuite quantifiés<a href="#cite_note-Cohen-3">[R 2]</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mise_en_évidence_des_modes_normaux_:_oscillateurs_mécaniques_couplés">Mise en évidence des modes normaux : oscillateurs mécaniques couplés</h2></div>

La notion de mode normal peut être mise en évidence dans un cas concret, celui de deux <a href="Oscillateur_harmonique" title="Oscillateur harmonique">oscillateurs harmoniques</a> couplés, en considérant deux systèmes masse-ressort, de mêmes masses <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle m_{1}=m_{2}=m}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle m_{1}=m_{2}=m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bdbf58a97843c6dd1f6ffb663fa65fba1d8f2535.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.427ex; height:2.009ex;" alt="{\textstyle m_{1}=m_{2}=m}" loading="lazy">. Celles-ci sont reliées chacune à un support rigide par des ressorts de mêmes raideurs notée <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d5595fc0c47452f8fc2aa6e29c3611f047714b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\textstyle k}" loading="lazy">, et couplées par un autre ressort de raideur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/985dcc2532a2d4d91b9a9610139216c63cf832d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\textstyle K}" loading="lazy">. L'ensemble peut se déplacer horizontalement avec des frottements négligeables (<abbr class="abbr" title="confer (reportez-vous à/comparez avec)">cf.</abbr> figure ci-dessous).

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Aspects_expérimentaux">Aspects expérimentaux</h3></div>

Expérimentalement, il est possible d'observer les éléments suivants :

<ul><li>si les masses sont mises en mouvement de façon quelconque, elles oscillent chacune avec un mouvement compliqué qui n'est pas purement sinusoïdal<a href="#cite_note-4">[N 2]</a> ;</li>

<li>toutefois, si à l'instant initial les masses sont écartées par rapport à leur position d'équilibre de la même distance, et dans le même sens, puis relâchées sans vitesse, elles oscillent toutes deux de façon harmonique à la pulsation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{1}=\omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1}=\omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/402dffc955983016070ed7d7d589fc1e42908273.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.397ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1}=\omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}" loading="lazy">, égale à celle d'un <a href="Syst%C3%A8me_masse-ressort" title="Système masse-ressort">système masse-ressort</a> "isolé" ;</li>

<li>si en revanche, elles sont écartées initialement de la même distance, mais dans des sens opposés, puis relâchées là encore sans vitesse, les deux masses oscillent de façon harmonique à une pulsation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{2}>\omega _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{2}>\omega _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a2c365a3756174efc5214ef332c53e725d96c03.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.099ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \omega _{2}>\omega _{1}}" loading="lazy">, les mesures permettant de montrer la relation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{2}={\sqrt {\frac {k+2K}{m}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{2}={\sqrt {\frac {k+2K}{m}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a5e1cc85585c6887bac81b5c1c20776f3db2f66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.038ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \omega _{2}={\sqrt {\frac {k+2K}{m}}}}" loading="lazy">.</li></ul>

Ainsi, l'expérience met en évidence dans ce cas simple deux types de mouvements harmoniques "purs", associés chacun à deux pulsations particulières, obtenus pour des conditions initiales précises: ceux-ci correspondent aux deux modes normaux, appelés aussi "modes propres", du système. Une analyse plus poussée des résultats expérimentaux permettrait de montrer que le mouvement obtenu pour des conditions initiales quelconques est une superposition des mouvements harmoniques correspondants aux deux modes normaux mis en évidence, affectées chacun d'amplitudes et de phases à l'origine différentes.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Équations_du_mouvement_et_mise_en_évidence_des_modes_normaux">Équations du mouvement et mise en évidence des modes normaux</h3></div>

Les déplacements par rapport à la position d'équilibre statique où tous les ressorts sont détendus, sont notés <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}(t)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/edc245640b5794e3f754bee7b713761282b60c21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.033ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{1}(t)}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{2}(t)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8821f9acaecc995a1b0bdfea31bb01605db7142c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.033ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{2}(t)}" loading="lazy">. Le système est donc à deux <a href="Degr%C3%A9_de_libert%C3%A9" class="mw-disambig" title="Degré de liberté">degrés de liberté</a>, et l'application de la <a href="Lois_du_mouvement_de_Newton" title="Lois du mouvement de Newton">relation fondamentale de la dynamique</a> à chacune des deux masses permet d'obtenir les équations du mouvement :

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m{\ddot {x}}_{1}=-kx_{1}+K(x_{2}-x_{1})\,\!}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed907911040374c55b675a344cb968733e0bb2df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-right: -0.387ex; width:27.637ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m{\ddot {x}}_{1}=-kx_{1}+K(x_{2}-x_{1})\,\!}" loading="lazy"></dd>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m{\ddot {x}}_{2}=-kx_{2}-K(x_{2}-x_{1})\,\!}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/020f0480547e4cb13ddebe4970ecf1b757d116fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-right: -0.387ex; width:27.637ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m{\ddot {x}}_{2}=-kx_{2}-K(x_{2}-x_{1})\,\!}" loading="lazy"></dd></dl>

Ces équations constituent un système d'équations différentielles linéaires (à coefficients constants) couplées : ceci traduit la dépendance du mouvement d'une des masses avec l'autre, causée par la présence du ressort de couplage central.

Il est cependant aisé de découpler le système en considérant respectivement la somme et la différence membre à membre de ces deux équations, ce qui revient à introduire de nouvelles coordonnées dites normales :

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1}=x_{1}+x_{2}\,\!}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1a14cccc8af67287d060d7f9ca6cb8e9c49cd8f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-right: -0.387ex; width:14.072ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1}=x_{1}+x_{2}\,\!}" loading="lazy">,</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{2}=x_{2}-x_{1}\,\!}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/483461138d19bdfc943c4a35e3115f29d1296243.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-right: -0.387ex; width:14.072ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{2}=x_{2}-x_{1}\,\!}" loading="lazy">,</dd></dl>

relations qui s'inversent aussitôt en :

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}\left(X_{1}-X_{2}\right)\,\!}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/805d6216880e46ce960ba7540eb2091246684c47.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; margin-right: -0.387ex; width:18.862ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}\left(X_{1}-X_{2}\right)\,\!}" loading="lazy">,</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}={\frac {1}{2}}\left(X_{1}+X_{2}\right)\,\!}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54fe03a60eb9a5e2c4ea3d25d56e90fd4f9704b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; margin-right: -0.387ex; width:18.862ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle x_{2}={\frac {1}{2}}\left(X_{1}+X_{2}\right)\,\!}" loading="lazy">,</dd></dl>

En utilisant les variables normales <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f70b2694445a5901b24338a2e7a7e58f02a72a32.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.979ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1}}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ad47c14b8a092f182512e76c96638aea6e3bea1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.979ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{2}}" loading="lazy"> les équations du mouvement se réécrivent sous la forme d'un système d'équations différentielles découplées, décrivant l'évolution de deux oscillateurs harmoniques indépendants :

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m{\ddot {X}}_{1}=-kX_{1}\,\!}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9798564e6ab99b82a4883ad974f3b56114afa5c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-right: -0.387ex; width:14.558ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle m{\ddot {X}}_{1}=-kX_{1}\,\!}" loading="lazy"></dd>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m{\ddot {X}}_{2}=-(k+2K)X_{2}\,\!}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/117cde696f7b945c3d33e1cf231cb053bec801ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-right: -0.387ex; width:22.436ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle m{\ddot {X}}_{2}=-(k+2K)X_{2}\,\!}" loading="lazy">,</dd></dl>

soit encore en introduisant les pulsations propres des deux modes normaux : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{01}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{01}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f9acfa838ae9e6a26a5ab662f5411779e687626.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:11.621ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \omega _{01}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{02}={\sqrt {\frac {k+2K}{m}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{02}={\sqrt {\frac {k+2K}{m}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3df8d343de55d19e9babcc9f8d977f332675fc6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.86ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \omega _{02}={\sqrt {\frac {k+2K}{m}}}}" loading="lazy"> :

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {X}}_{1}+\omega _{01}^{2}X_{1}=0\,\!}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59c8950ab9480588e3548d1537e1ec3e00c0914f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-right: -0.387ex; width:16.823ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {X}}_{1}+\omega _{01}^{2}X_{1}=0\,\!}" loading="lazy"></dd>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {X}}_{2}+\omega _{02}^{2}X_{2}=0\,\!}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d226e5b9bb06c20ff1434f4325be15e3a252fb9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-right: -0.387ex; width:16.823ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {X}}_{2}+\omega _{02}^{2}X_{2}=0\,\!}" loading="lazy">.</dd></dl>

La résolution de ces équations est immédiate, et il vient aussitôt :

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1}(t)=X_{1m}\cos {(\omega _{01}t+\phi _{1})}\,\!}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d404a79b0f31cd257a93183041b33feffbaa1251.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-right: -0.387ex; width:28.671ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X_{1}(t)=X_{1m}\cos {(\omega _{01}t+\phi _{1})}\,\!}" loading="lazy">,</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{2}(t)=X_{2m}\cos {(\omega _{02}t+\phi _{2})}\,\!}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7fe19d7e664ee71d394ee098b818a2c096acd7de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-right: -0.387ex; width:28.671ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X_{2}(t)=X_{2m}\cos {(\omega _{02}t+\phi _{2})}\,\!}" loading="lazy">,</dd></dl>

où <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{1m},X_{2m},\phi _{1},\phi _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1m},X_{2m},\phi _{1},\phi _{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7cdec032edb724631327928af8e802ef0a2479f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.824ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1m},X_{2m},\phi _{1},\phi _{2}}" loading="lazy"> sont des constantes dépendant des conditions initiales imposées au système. Par suite, le mouvement le plus général est celui d'une superposition de deux oscillations harmoniques de pulsations <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{01}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{01}}</annotation>

</semantics>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{02}}</annotation>

</semantics>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}(t)={\frac {1}{2}}\left(X_{1m}\cos {(\omega _{01}t+\phi _{1})}-X_{2m}\cos {(\omega _{02}t+\phi _{2})}\right)\,\!}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6486be2ff1800400b8e0dd4597579baf372198fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; margin-right: -0.387ex; width:54.669ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle x_{1}(t)={\frac {1}{2}}\left(X_{1m}\cos {(\omega _{01}t+\phi _{1})}-X_{2m}\cos {(\omega _{02}t+\phi _{2})}\right)\,\!}" loading="lazy">,</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}(t)={\frac {1}{2}}\left(X_{1m}\cos {(\omega _{01}t+\phi _{1})}+X_{2m}\cos {(\omega _{02}t+\phi _{2})}\right)\,\!}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ea2aff5408241592c6ba2c108bd8895446bfac5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; margin-right: -0.387ex; width:54.669ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle x_{2}(t)={\frac {1}{2}}\left(X_{1m}\cos {(\omega _{01}t+\phi _{1})}+X_{2m}\cos {(\omega _{02}t+\phi _{2})}\right)\,\!}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Interprétation_physique_des_modes_normaux">Interprétation physique des modes normaux</h3></div>

Il est important de souligner que si les conditions initiales sont telles que le système oscille dans un mode normal donné, i.e. si <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{1m}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1m}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7324f6f5f5bde1c9121d022a50fad3793070e26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.682ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1m}=0}" loading="lazy"> ou <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{2m}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{2m}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5ec733dbe77c77cdd4cdef8bbcad4e5bbdbab41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.682ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{2m}=0}" loading="lazy">, le système restera dans ce mode pendant la suite de l'évolution ultérieure. Ce résultat est bien entendu lié au fait que les équations du mouvement correspondant aux coordonnées normales correspondent à des oscillateurs harmoniques indépendants.

Il est facile de vérifier qu'il est possible de faire osciller chacune des masses dans le premier mode normal <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{1}(t)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/acf1041388e662772be08489a7e7aa29529ab41c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.627ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X_{1}(t)}" loading="lazy">, de pulsation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{01}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{01}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0d6cb32e0d6b8f2fae3f1afcf3197763484e007.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.322ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{01}}" loading="lazy"> en déplaçant initialement chacune des masses de la même distance et dans le même sens, puis en les relâchant sans vitesse, ce qui correspond aux conditions initiales <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}(t=0)=x_{2}(t=0)=x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}(t=0)=x_{2}(t=0)=x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/accd95309102040ae96b1170975e6b2754760007.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{1}(t=0)=x_{2}(t=0)=x_{0}}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {x_{1}}}(t=0)={\dot {x_{2}}}(t=0)=0}">

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {x_{1}}}(t=0)={\dot {x_{2}}}(t=0)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31c14ef3ed4757fd4d37c5d1f45df2d35cbb521a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.947ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {x_{1}}}(t=0)={\dot {x_{2}}}(t=0)=0}" loading="lazy">. Dans ce cas il vient <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{1m}=2x_{0},X_{2m}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1m}=2x_{0},X_{2m}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67974a2b53732093efc27feccc8bdd7253af8e58.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.782ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1m}=2x_{0},X_{2m}=0}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{1}=\phi _{2}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{1}=\phi _{2}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e22df5b882731f34215bccef2d5d031f5c318d2b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.239ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{1}=\phi _{2}=0}" loading="lazy">, et le système oscille donc dans ce mode propre à la pulsation propre <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{01}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{01}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0d6cb32e0d6b8f2fae3f1afcf3197763484e007.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.322ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{01}}" loading="lazy"> qui correspond en fait à celle de chacun des systèmes masse-ressort découplés. Physiquement l'oscillation dans un tel mode correspond à un déplacement simultané, en phase, des deux masses, sans déformation du ressort de couplage: ceci est en réalité la conséquence du fait que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{1}(t)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/acf1041388e662772be08489a7e7aa29529ab41c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.627ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X_{1}(t)}" loading="lazy"> décrit le déplacement du <a href="Centre_d'inertie" title="Centre d'inertie">centre d'inertie</a> du système. Ce mode propre est souvent qualifié de symétrique en raison de ses caractéristiques.

L'oscillation des masses selon le second mode normal est obtenue en écartant chacune des deux masses dans des sens opposés et de la même distance absolue, puis en les relâchant sans vitesse, soit pour des conditions initiales <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{2}(t=0)=-x_{1}(t=0)=x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}(t=0)=-x_{1}(t=0)=x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/145cdbd03b2ce2ec9108c545f6e619fb4340310f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.976ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{2}(t=0)=-x_{1}(t=0)=x_{0}}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {x_{1}}}(t=0)={\dot {x_{2}}}(t=0)=0}">

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {x_{1}}}(t=0)={\dot {x_{2}}}(t=0)=0}</annotation>

</semantics>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1m}=0,X_{2m}=2x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdf3a0c319ddf1ac15471a92287c779e2320aeda.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.782ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1m}=0,X_{2m}=2x_{0}}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{1}=\phi _{2}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{1}=\phi _{2}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e22df5b882731f34215bccef2d5d031f5c318d2b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.239ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{1}=\phi _{2}=0}" loading="lazy">. Les deux masses oscillent en opposition de phase à la pulsation propre <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{02}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{02}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d27f19df13f4b129652a722d7f4987271f68c7d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.322ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \omega _{02}}" loading="lazy">, avec la même amplitude : par suite le centre d'inertie du système est fixe lorsqu'il y a <a href="Oscillation" title="Oscillation">oscillation</a> dans un tel mode, qualifié souvent d'antisymétrique en raison de ses propriétés.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Méthode_matricielle">Méthode matricielle</h3></div>

La mise en évidence des modes normaux peut également se faire en utilisant une méthode <a href="Matrice_(math%C3%A9matiques)" title="Matrice (mathématiques)">matricielle</a>. Les équations du mouvement précédentes peuvent se mettre sous la forme :

<mover>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}={\begin{bmatrix}-(k+K)&K\\K&-(k+K)\end{bmatrix}}{\vec {x}}\quad {\text{avec}}\quad {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a965aee45c274fbd63035a2a303e6b0d17580d8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:55.531ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}={\begin{bmatrix}-(k+K)&K\\K&-(k+K)\end{bmatrix}}{\vec {x}}\quad {\text{avec}}\quad {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

Le principe est alors de rechercher des solutions harmoniques de pulsation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> à cette équation différentielle matricielle, en posant <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}_{\omega }={\vec {x_{m}}}e^{j\omega t}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}_{\omega }={\vec {x_{m}}}e^{j\omega t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04eb5693ca0c3634459d115a682d919a0ae783f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.297ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}_{\omega }={\vec {x_{m}}}e^{j\omega t}}" loading="lazy">, où <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x_{m}}}={\begin{pmatrix}X_{1m}\\X_{2m}\end{pmatrix}}}">

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x_{m}}}={\begin{pmatrix}X_{1m}\\X_{2m}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8e3d9b4869a441ab0c1d725a5a5f215345435b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:14.697ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x_{m}}}={\begin{pmatrix}X_{1m}\\X_{2m}\end{pmatrix}}}" loading="lazy"> est un vecteur constant contenant les amplitudes des oscillations, et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j^{2}=-1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j^{2}=-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92313d249fbdd831b4bd88b5786e0e15589aaef5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:8.108ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle j^{2}=-1}" loading="lazy">. Il est évident que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}_{\omega }=-\omega ^{2}{\vec {x}}_{\omega }}">

<msub>

<mover>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}_{\omega }=-\omega ^{2}{\vec {x}}_{\omega }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/378e9d342dbb42df74a368a943b6be9bd2573a97.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.575ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}_{\omega }=-\omega ^{2}{\vec {x}}_{\omega }}" loading="lazy"> et l'équation matricielle se ramène alors à une équation aux valeurs propres :

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [K]{\vec {x}}_{\omega }=-m\omega ^{2}{\vec {x}}_{\omega }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/529e2865d73262e072d120dfbeaf1e39e1be5108.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.975ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle [K]{\vec {x}}_{\omega }=-m\omega ^{2}{\vec {x}}_{\omega }}" loading="lazy">,</dd></dl>

où

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [K]={\begin{bmatrix}-(k+K)&K\\K&-(k+K)\end{bmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5047c03f34269797912b6693430309785a4c79b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:31.457ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle [K]={\begin{bmatrix}-(k+K)&K\\K&-(k+K)\end{bmatrix}}}" loading="lazy">

est la "matrice des raideurs" dont <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}_{\omega }}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}_{\omega }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b7782cd59656f1c4d497a0e8d68781ab3085fb2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.584ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}_{\omega }}" loading="lazy"> est <a href="Vecteur_propre" class="mw-redirect" title="Vecteur propre">vecteur propre</a> correspondant à la <a href="Valeur_propre" class="mw-redirect" title="Valeur propre">valeur propre</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -m\omega ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -m\omega ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7aa76f9bb65e124f1ef616517aeb80967a7c674a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.349ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle -m\omega ^{2}}" loading="lazy"><a href="#cite_note-5">[N 3]</a>. Par suite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {det} \left([K]+m\omega ^{2}[I]\right)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1cf56ee92a3f61d70dc85db9a22bf0e0d595bd9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:23.213ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {det} \left([K]+m\omega ^{2}[I]\right)=0}" loading="lazy">

avec <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {1}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {1}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d6f73cb9dd5b51ebb83bdf3f0ea3935822b1b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {1}}}" loading="lazy"> matrice 2x2 unité. Les valeurs obtenues pour les pulsations des modes propres sont évidemment les mêmes que celles du paragraphe précédent. Les expressions des modes propres sont obtenues en considérant les vecteurs propres associés à chacune des valeurs propres.

Cette méthode présente l'avantage de pouvoir être généralisée, au moins en théorie, à un nombre quelconque de degrés de libertés et à des situations plus générales, avec des masses ou raideurs différentes, ou encore d'autre type d'oscillateurs couplés, par exemple électrique. Elle peut cependant résulter en des calculs assez lourds, nécessitant le recours à des méthodes de <a href="Calcul_num%C3%A9rique" title="Calcul numérique">calcul numérique</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Généralisation_à_un_système_à_plusieurs_degrés_de_liberté">Généralisation à un système à plusieurs degrés de liberté</h2></div>

Les notions précédentes peuvent se généraliser aux oscillations libres au voisinage d'une <a href="Position_d'%C3%A9quilibre" class="mw-redirect" title="Position d'équilibre">position d'équilibre</a> stable d'un système comportant N degrés de libertés, correspondant aux <a href="Coordonn%C3%A9es_g%C3%A9n%C3%A9ralis%C3%A9es" title="Coordonnées généralisées">coordonnées et vitesses généralisées</a><a href="#cite_note-6">[N 4]</a> notées <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q=\left(q_{1},q_{2},...,q_{N}\right)}">

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=\left(q_{1},q_{2},...,q_{N}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39f6681d255b6c65b2ef5a204cf673eb01cd8a90.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.092ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q=\left(q_{1},q_{2},...,q_{N}\right)}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {q}}=\left({\dot {q_{1}}},{\dot {q_{2}}},...,{\dot {q_{N}}}\right)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {q}}=\left({\dot {q_{1}}},{\dot {q_{2}}},...,{\dot {q_{N}}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a88aa5fa10e7276b3f3507f39718f316825bbd6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.4ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {q}}=\left({\dot {q_{1}}},{\dot {q_{2}}},...,{\dot {q_{N}}}\right)}" loading="lazy">, considéré comme conservatif, c'est-à-dire où les termes de dissipation d'énergie sont négligés, et sans interaction avec un champ extérieur. Le formalisme de la <a href="M%C3%A9canique_analytique" title="Mécanique analytique">mécanique analytique</a>, en l'occurrence le <a href="M%C3%A9canique_lagrangienne" class="mw-redirect" title="Mécanique lagrangienne">formalisme lagrangien</a>, est le plus adapté pour procéder à une telle généralisation.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Expression_du_lagrangien_au_voisinage_d'une_position_d'équilibre_stable">Expression du lagrangien au voisinage d'une position d'équilibre stable</h3></div>

De façon générale le <a href="Lagrangien" title="Lagrangien">lagrangien</a> d'un tel système est de la forme<a href="#cite_note-Landau-7">[R 3]</a>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(q,{\dot {q}})=T(q,{\dot {q}})-U(q)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/64f3ebf53ece6723cfb6909bf5b2a1e274101368.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.399ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(q,{\dot {q}})=T(q,{\dot {q}})-U(q)}" loading="lazy">,</dd></dl>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(q,{\dot {q}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/96bb6915e5dcc52c233d392b12d2abd30dcccc11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.926ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T(q,{\dot {q}})}" loading="lazy"> correspond à l'<a href="%C3%89nergie_cin%C3%A9tique" title="Énergie cinétique">énergie cinétique</a> totale du système, qui s'écrit de façon générale :

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(q,{\dot {q}})={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{a_{ij}(q){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/738ed902fd6e3a2d7be44ec87d8dadadfbe8e3b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:26.202ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle T(q,{\dot {q}})={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{a_{ij}(q){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

les indices i et j allant de 1 à N, et les quantités <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ebea6cd2813c330c798921a2894b358f7b643917.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.707ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{ij}}" loading="lazy"> étant telles que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7cb3e899e03e50fec81e0f9b4977f59e27149618.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.512ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}" loading="lazy"><a href="#cite_note-8">[N 5]</a>,<a href="#cite_note-9">[N 6]</a>,<a href="#cite_note-10">[N 7]</a>.

Si <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{0}=\left(q_{10},q_{20},...,q_{N0}\right)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{0}=\left(q_{10},q_{20},...,q_{N0}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55643e066e8d07fac1e78d0d7be1dba148c898d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.58ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q_{0}=\left(q_{10},q_{20},...,q_{N0}\right)}" loading="lazy"> correspond à une position d’équilibre stable du système, l'énergie potentielle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U(q)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U(q)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/598f5c2b7c967e72c002c6b0a2ff8d677174e74f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.661ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U(q)}" loading="lazy"> est minimale pour celle-ci, et il est possible de façon générale de développer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U(q)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U(q)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/598f5c2b7c967e72c002c6b0a2ff8d677174e74f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.661ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U(q)}" loading="lazy"> au voisinage de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d68d37de188ac61f0c0e3f31d5322d1c486f2f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.091ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q_{0}}" loading="lazy">, ce qui donne :

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U(q)\approx U(q_{0})+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{k_{ij}\left(q_{i}-q_{i0}\right)\left(q_{j}-q_{j0}\right)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9bc7abdbacc7c1078035e479ec72390d7f9e835.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:44.384ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle U(q)\approx U(q_{0})+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{k_{ij}\left(q_{i}-q_{i0}\right)\left(q_{j}-q_{j0}\right)}}" loading="lazy">,</dd></dl>

les coefficients <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9db60ff245b7d793444196f9f8f1c3f990180c7b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.688ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle k_{ij}}" loading="lazy"><a href="#cite_note-11">[N 8]</a> étant symétriques (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{ij}=k_{ji}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{ij}=k_{ji}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49e9e4d5e1344c76103dfe4395253e22c6eda73f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.475ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle k_{ij}=k_{ji}}" loading="lazy">), et tels que la <a href="Forme_quadratique" title="Forme quadratique">forme quadratique</a> soit définie positive<a href="#cite_note-12">[N 9]</a>, en accord avec le fait que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{0}=\left(q_{10},q_{20},...,q_{N0}\right)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{0}=\left(q_{10},q_{20},...,q_{N0}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55643e066e8d07fac1e78d0d7be1dba148c898d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.58ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q_{0}=\left(q_{10},q_{20},...,q_{N0}\right)}" loading="lazy"> correspond à un minimum de l'énergie potentielle<a href="#cite_note-13">[N 10]</a>. Il est alors utile de prendre <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{0}=\left(q_{10},q_{20},...,q_{N0}\right)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{0}=\left(q_{10},q_{20},...,q_{N0}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55643e066e8d07fac1e78d0d7be1dba148c898d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.58ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q_{0}=\left(q_{10},q_{20},...,q_{N0}\right)}" loading="lazy"> pour origines de l'énergie potentielle et des coordonnées, en posant <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}=q_{i}-q_{i0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}=q_{i}-q_{i0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/673fa15ef353603aa714d0bee08dafa4495b81c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.564ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x_{i}=q_{i}-q_{i0}}" loading="lazy">, ce qui donne pour l'expression de l'énergie potentielle au voisinage de la position d'équilibre stable du système:

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U(x)\approx {\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{k_{ij}x_{i}x_{j}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/288d5e18725fc7b5750cbe76174042393cc3bc92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:21.205ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle U(x)\approx {\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{k_{ij}x_{i}x_{j}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Par ailleurs en posant <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{i}\approx q_{i0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{i}\approx q_{i0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3964ddb046d309b225312fffb7dd80e94fefb4bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.594ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q_{i}\approx q_{i0}}" loading="lazy"> dans les coefficients <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ebea6cd2813c330c798921a2894b358f7b643917.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.707ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{ij}}" loading="lazy"> de l'expression de l'énergie cinétique, il vient l'expression approchée au même ordre de celle-ci :

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T({\dot {x}})\approx {\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{m_{ij}{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{j}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0292ac929c6730648cbdd76abcef61ffbb9f7fbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:21.888ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle T({\dot {x}})\approx {\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{m_{ij}{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{j}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{ij}=a_{ij}(q_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c269977dab634cf064bcf9c11b19ca89d1a99fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.224ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle m_{ij}=a_{ij}(q_{0})}" loading="lazy">. Il est important de noter que ces coefficients n'ont pas nécessairement les dimensions d'une masse, pas plus que les <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9db60ff245b7d793444196f9f8f1c3f990180c7b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.688ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle k_{ij}}" loading="lazy"> n'ont celles d'une raideur en général. Toutefois il est facile de vérifier que dans tous les cas les quantités <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {\frac {k_{ij}}{m_{ij}}}}}">

<msqrt>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {\frac {k_{ij}}{m_{ij}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87563b6cbca91dde8815d618da690c223e7214b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:6.677ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {\frac {k_{ij}}{m_{ij}}}}}" loading="lazy"> ont les dimension d'une pulsation.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Équations_du_mouvement_-_Équation_caractéristique_des_modes_propres">Équations du mouvement - Équation caractéristique des modes propres</h3></div>

Au voisinage d'une position d'équilibre stable le lagrangien d'un système conservatif à plusieurs degrés de liberté s'écrit alors :

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(x,{\dot {x}})={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{m_{ij}{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{k_{ij}x_{i}x_{j}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeb76dbb7d7513ddce9b270f21bbae463be254e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:40.223ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle L(x,{\dot {x}})={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{m_{ij}{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{k_{ij}x_{i}x_{j}}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

et en tenant compte de la symétrie des constantes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd6f1bb2d6548dca472922bcbcb77e7ad3a5b4df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.518ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle m_{ij}}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{ij}}</annotation>

</semantics>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{j}{m_{ij}{\ddot {x}}_{j}}=-\sum _{j}{k_{ij}x_{j}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d292fb186104237e95bf5d484ce4395005b03df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:23.463ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{j}{m_{ij}{\ddot {x}}_{j}}=-\sum _{j}{k_{ij}x_{j}}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=1,...,N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=1,...,N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3badf64e73cff33bd2c346727d32d72fa1f4e6ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.297ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i=1,...,N}" loading="lazy">.</dd></dl>

Il s'agit donc d'un système d'équations différentielles linéaires couplées, à coefficients constants : il est possible de rechercher des solutions sinusoïdales à ce système, en posant (en notation complexe) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {x}}_{j}(t)={\underline {A}}_{j}e^{i\omega t}}">

<msub>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {x}}_{j}(t)={\underline {A}}_{j}e^{i\omega t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ae8f7f2d94c644c977456d80af502d68b34f33f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.955ex; margin-bottom: -0.383ex; width:14.143ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\underline {x}}_{j}(t)={\underline {A}}_{j}e^{i\omega t}}" loading="lazy">, ce qui implique <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {\underline {x}}}_{j}(t)=-\omega ^{2}{\underline {x}}_{j}(t)}">

<msub>

<mover>

</munder>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {\underline {x}}}_{j}(t)=-\omega ^{2}{\underline {x}}_{j}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3d5941f2796161c3a0a97d253a25a2be2f64fb7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.955ex; margin-bottom: -0.383ex; width:17.188ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {\underline {x}}}_{j}(t)=-\omega ^{2}{\underline {x}}_{j}(t)}" loading="lazy">, les amplitudes complexes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {A}}_{j}}">

<msub>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {A}}_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71e44be3a3fa34fcc6415dc554a2804c333c1bbd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.93ex; margin-bottom: -0.408ex; width:2.655ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\underline {A}}_{j}}" loading="lazy"> étant solution d'un <a href="Syst%C3%A8me_d'%C3%A9quations_lin%C3%A9aires" title="Système d'équations linéaires">système d'équations linéaires</a> de la forme :

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{j}{\left(k_{ij}-\omega ^{2}m_{ij}\right){\underline {A}}_{j}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46f0b079856240b4a977510f1478403a92f259e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:24.721ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{j}{\left(k_{ij}-\omega ^{2}m_{ij}\right){\underline {A}}_{j}}=0}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=1,...,N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=1,...,N}</annotation>

</semantics>

Un tel système n'a de solution non triviale (i.e. telle que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {A}}_{j}\neq 0}">

<msub>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {A}}_{j}\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cdf782038e616187b6c04c319aa150db5797ef13.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.93ex; margin-bottom: -0.408ex; width:6.916ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\underline {A}}_{j}\neq 0}" loading="lazy">) que si les pulsations <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle det\left(k_{ij}-\omega ^{2}m_{ij}\right)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/353821b97011d9b68917f72f1d308d678bb544b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:21.463ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle det\left(k_{ij}-\omega ^{2}m_{ij}\right)=0}" loading="lazy">.</dd></dl>

Les pulsations<a href="#cite_note-14">[N 11]</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c0dc871d61e141c38b6984d044cd4d19f33b89f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.356ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \omega _{j}}" loading="lazy"> solution de cette équation sont celles des modes propres du système : en général ils sont au nombre de N, mais certaines pulsations peuvent être égales (dégénérescence de mode). Le système d'équations sur les amplitudes complexes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {A}}_{j}}">

<msub>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {A}}_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71e44be3a3fa34fcc6415dc554a2804c333c1bbd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.93ex; margin-bottom: -0.408ex; width:2.655ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\underline {A}}_{j}}" loading="lazy"> peut alors être résolu et de façon générale N variables normales <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{j}(t)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{j}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f54faa8cbb406da88421384407abd0713fd60992.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.483ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle X_{j}(t)}" loading="lazy">, combinaisons linéaires de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{j}(t)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{j}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27aa814b79c9ef68a273b400b57c7021fa2ae07a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.888ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x_{j}(t)}" loading="lazy"> peuvent être introduites, découplant le système d'équations différentielles. Physiquement, pour de petites oscillations au voisinage d'une position d'équilibre stable d'un système conservatif à N degrés de liberté, le problème se ramène à une collection de N oscillateurs harmoniques indépendants correspondants aux différentes pulsations propres <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{j}}</annotation>

</semantics>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références">Notes et références</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Notes">Notes</h3></div>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Du moins, en l'absence d'<a href="Effets_non_lin%C3%A9aires" title="Effets non linéaires">effets non linéaires</a>, comme la présence d'<a href="Anharmonicit%C3%A9" title="Anharmonicité">anharmonicités</a>, qui peuvent conduire à « mixer » les modes entre eux.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Cf. pour des exemples le lien suivant : <a rel="nofollow" class="external text" href="http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/meca/couplage.html">oscillateurs masse-ressort couplés</a>.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Ces valeurs propres sont réelles puisque <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [K]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [K]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b6c25071903364b1b51e69ffa99ec95f6d122d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [K]}" loading="lazy"> est une <a href="Matrice_sym%C3%A9trique" title="Matrice symétrique">matrice symétrique</a> à éléments réels.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Il est important de noter que ces coordonnées ou vitesses généralisées n'ont pas nécessairement les dimensions d'une longueur ou d'une vitesse "ordinaire": elles peuvent par exemple correspondre à des angles ou des vitesses angulaires.

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Les dimensions de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{ij}(q)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{ij}(q)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aef412c35d57faf6a7074c2af7f9f20e395e10e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.586ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a_{ij}(q)}" loading="lazy"> dépendent de celles des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {q}}_{i}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {q}}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa92ee5d3f74b0d1a40f53393bfec80758d3c2d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.177ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {q}}_{i}}" loading="lazy">.

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Ainsi par exemple, pour le <a href="Pendule_double" title="Pendule double">pendule double</a> l'énergie cinétique est donnée par <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}T\left(\theta ,{\dot {\theta }}\right)={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})l_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}l_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\\+m_{2}l_{1}l_{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\end{aligned}}}">

<mtr>

<mtd>

<mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</msubsup>

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</mrow>

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</mrow>

</msubsup>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}T\left(\theta ,{\dot {\theta }}\right)={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})l_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}l_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\\+m_{2}l_{1}l_{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99827eb33a1aea8fdb5693659b460f65508c4f71.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.504ex; margin-bottom: -0.334ex; width:41.216ex; height:8.676ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}T\left(\theta ,{\dot {\theta }}\right)={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})l_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}l_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\\+m_{2}l_{1}l_{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\end{aligned}}}" loading="lazy">, ce qui correspond bien à la forme proposée, avec <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{11}=m_{1}l_{1}^{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{11}=m_{1}l_{1}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83068fcc05931d3af009aec9252ee49e202b3fdb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.047ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle a_{11}=m_{1}l_{1}^{2}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{22}=m_{2}l_{2}^{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{22}=m_{2}l_{2}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9de23c98ce673fc60d4a82f07b1728088d7312e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.047ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle a_{22}=m_{2}l_{2}^{2}}" loading="lazy">, et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{12}=a{21}={\tfrac {1}{2}}m_{2}l_{1}l_{2}\cos {\left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{12}=a{21}={\tfrac {1}{2}}m_{2}l_{1}l_{2}\cos {\left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dcfc461a58ce2b93442516e891d68348627d4dc3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:33.93ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle a_{12}=a{21}={\tfrac {1}{2}}m_{2}l_{1}l_{2}\cos {\left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)}}" loading="lazy">. Dans ce cas les <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ebea6cd2813c330c798921a2894b358f7b643917.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.707ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{ij}}" loading="lazy"> ont les dimensions de <a href="Moment_d'inertie" title="Moment d'inertie">moments d'inertie</a>.

</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ebea6cd2813c330c798921a2894b358f7b643917.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.707ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{ij}}" loading="lazy"> doivent être tels que la forme quadratique en <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {q}}_{i,j}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {q}}_{i,j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/006bf61bd7f66e18cf4978973bf4caab89d18500.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.312ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\dot {q}}_{i,j}}" loading="lazy"> soit <a href="Matrice_d%C3%A9finie_positive" title="Matrice définie positive">définie positive</a>.

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Dont les dimensions dépendent de celles des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2752dcbff884354069fe332b8e51eb0a70a531b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.837ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q_{i}}" loading="lazy">.

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> C'est-à-dire que l'on a pas nécessairement <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{ij}>0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{ij}>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0e2fb8656385eb33b300d69411fe8a6186ac2a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.949ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle k_{ij}>0}" loading="lazy"> dans tous les cas, mais que pour tout <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{i},q_{j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{i},q_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/956c70b518840588f6fd106dd608133d64e01925.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.817ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle q_{i},q_{j}}" loading="lazy"> on a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i,j}{(q_{i}-q_{i0})k_{ij}(q_{j}-q_{j0})}>0}">

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i,j}{(q_{i}-q_{i0})k_{ij}(q_{j}-q_{j0})}>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba00f8fe5cf6fe7550efa38284aa65992e5246a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:29.202ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i,j}{(q_{i}-q_{i0})k_{ij}(q_{j}-q_{j0})}>0}" loading="lazy">.

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Les grandeurs <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9db60ff245b7d793444196f9f8f1c3f990180c7b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.688ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle k_{ij}}" loading="lazy"> correspondent aux différents termes de la <a href="Matrice_hessienne" title="Matrice hessienne">matrice hessienne</a> des dérivées partielles secondes de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\left(q_{10},q_{20},...,q_{N0}\right)}">

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\left(q_{10},q_{20},...,q_{N0}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2c0f04ad07cee158b01ce3d0c7afb6d082da3ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.56ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U\left(q_{10},q_{20},...,q_{N0}\right)}" loading="lazy">, ainsi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{ij}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{ij}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/607a4b75b9a7b3ce30ab86f23a98bee860d55cd9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:13.043ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle k_{ij}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}}" loading="lazy">, le caractère symétrique de ces coefficients suppose donc que l'ordre de dérivation partielle n'importe pas, ce qui nécessite juste de supposer que ces dérivées secondes sont continues (cf. <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Schwarz" title="Théorème de Schwarz">théorème de Schwarz</a>), ce qui vérifié pour les potentiels physiques

</li>

<li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Il a déjà été remarqué que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {\frac {k_{ij}}{m_{ij}}}}}">

<msqrt>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {\frac {k_{ij}}{m_{ij}}}}}</annotation>

</semantics>

</li>

</ol>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Références">Références</h3></div>

<li id="cite_note-Meirovitch-1"><a href="#cite_ref-Meirovitch_1-0">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Meirovitch, Elements of vibration analysis, <abbr class="abbr" title="Deuxième">2e</abbr> éd., Mac Graw Hill, 1986.

</li>

<li id="cite_note-Cohen-3"><a href="#cite_ref-Cohen_3-0">↑</a> Cohen-Tannoudji, Dupont-Roc, Grynberg, Photons et atomes - Introduction à l'électrodynamique quantique, EDP Sciences, 1987, (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 978-2-86-883535-2).

</li>

<li id="cite_note-Landau-7"><a href="#cite_ref-Landau_7-0">↑</a> Cf. <a href="Lev_Landau" title="Lev Landau">Lev Landau</a> et <a href="Evgueni_Lifchits" title="Evgueni Lifchits">Evgueni Lifchits</a>, <cite class="italique">Physique théorique</cite> [détail des éditions]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Physique+th%C3%A9orique&rft.aulast=Landau&rft.aufirst=Lev&rft.au=Evgueni+Lifchits&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AMode+normal">, chapitre V.

</li>

</ol>

</div>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li> Portail de la physique </li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>